Pricing d’option binaire

Vous n’aurez pas besoin de comprendre toute la partie Pricing Option Binaire  pour investir dans les options binaires, mais vous découvrirez ici comment déterminer le prix de ces options.

Payoff

Cas d’une option standard

Si on note:

  • p la prime de l’option
  • K le strike
  • S le prix du sous jacent à échéance
Pour un call:
Le PnL (profit and loss), c’est à dire le gain net, positif ou négatif est, à maturité:
Pnl = Max(0,S-K) – p = Payoff – p
On peut noter que le point mort (moment à partir duquel on ne perd plus d’argent) se situe quand S = K + p
Ci-dessous un exemple de payoff avec K=100:

Pricing option binaire: Payoff d'un Call

Pour un put:
Le PnL à maturité est:
Pnl = Max(0,K-S) – p = Payoff – p
Le point mort se situe à S=K-p
Ci-dessous un exemple de put avec K=100:

Pricing option binaire: Payoff d'un Put

Comme on peut le voir sur les 2 exemples précédents, plus on a « raison », plus on gagne. Cela ne sera pas le cas avec les options binaires. L’issue sera beaucoup plus simple: soit on perd la somme investie, soit on gagne une somme convenu à l’avance.

Cas d’une option binaire

Une option binaire, également appelée option digitale ou option tout ou rien, est une option où le paiement à échéance est:

  • une somme fixée par avance dans le cas où l’option termine dans la monnaie
  • 0 si l’option termine en dehors de la monnaie
Le terme binaire signifie qu’il n’y a que 2 possibilités pour le paiement.

Contrairement aux options classiques, il n’y a pas de calcul à faire. Si l’option termine dans la monnaie, vous touchez la somme initialement prévue, sinon vous avez perdu votre mise.

Si vous prenez une option High (cf. paragraphe suivant) et que le cours de référence est 43, vous ne gagnerez pas plus si l’action clôture à 45 ou bien à 46, à la différence d’un Call classique.

Payoff d’un call binaire payant 1 à maturité s’il termine dans la monnaie
Payoff d’un Put binaire payant 1 à maturité s’il termine dans la monnaie

Pricing Option binaire: calcul avec Black&Scholes

Cas d’une option classique

Le prix d’une option classique est donnée par la formule de Black & Scholes:

Prix d’une option par la formule de Black & Scoles

La fonction N(x) est la fonction de répartition de la loi normale:

Fonction de répartiion N(x) de la loi normale, utilisée dans la fomule de Black&Scholes

Les paramètres qui entrent en compte dans la formule sont:

  • S, prix spot du sous-jacent
  • T, la maturité
  • K, le strike
  • r, le taux
  • sigma, la volatilité implicite du sous-jacent
On peut représenter la courbe du prix d’un call en fonction du prix spot:

Prix d’un Call classique en fonction du prix Spot pour des maturités différentes

On prendra en général comme paramètres pour les graphiques:

  • K=100
  • sigma=20%
  • T=7 mois
  • r= 3%
On voit que le prix tend vers le payoff à échéance: plus la maturité sera faible, plus la courbe du prix (en bleu) sera proche de la courbe du payoff (en rouge).

Cas d’une option binaire

En reprenant les notations précédentes, le prix d’une option binaire dans le cas d’un call est donné par:

C =exp (-rT) * N(d2)

Pour un put:

C =exp (-rT) * N(-d2)

On note que les formules sont plus « simples » que dans le cas d’options classiques.

Avec les mêmes paramètres que précédemment, on obtient la courbe suivante pour un call binaire payant 100 dans le cas où l’option finit dans la monnaie:

Prix d’un call binaire en fonction du Spot

Comme dans le cas des options classiques, plus on est proche de l’échéance, plus la courbe bleue va tendre vers la courbe rouge.